Признак подобия прямоугольных треугольников

Введем для начала признак подобия прямоугольных треугольников.

Теорема 1

Признак подобия прямоугольных треугольников : два прямоугольных треугольника подобны тогда, когда у них есть по одному равному острому углу (рис. 1).

Рисунок 1. Подобные прямоугольные треугольники

Доказательство.

Пусть нам дано, что $\angle B=\angle B_1$. Так как треугольники прямоугольные, то $\angle A=\angle A_1={90}^0$. Следовательно, они подобны по первому признаку подобия треугольников.

Теорема доказана.

Теорема о высоте в прямоугольном треугольнике

Теорема 2

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

Пусть нам дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Проведем высоту $CD$ (рис. 2).

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Докажем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны треугольнику $ABC$ и что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны между собой.

    Так как $\angle ADC={90}^0$, то треугольник $ACD$ прямоугольный. У треугольников $ACD$ и $ABC$ угол $A$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны.

    Так как $\angle BDC={90}^0$, то треугольник $BCD$ прямоугольный. У треугольников $BCD$ и $ABC$ угол $B$ общий, следовательно, по теореме 1, треугольники $BCD$ и $ABC$ подобны.

    Рассмотрим теперь треугольники $ACD$ и $BCD$

    \[\angle A={90}^0-\angle ACD\] \[\angle BCD={90}^0-\angle ACD=\angle A\]

    Следовательно, по теореме 1, треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны.

Теорема доказана.

Среднее пропорциональное

Теорема 3

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые высота делит гипотенузу данного треугольника.

Доказательство.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $BCD$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Теорема 4

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины угла.

Доказательство.

В доказательстве теоремы будем пользоваться обозначениями из рисунка 2.

По теореме 2, имеем, что треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны, следовательно

Теорема доказана.

Разделы: Математика

Класс: 8

Тип занятия: комбинированный.

Дидактическая цель: создание условий для осознания и осмысления понятия «среднее пропорциональное», совершенствования умений находить пропорциональные отрезки с опорой на подобие треугольников, проверки уровня усвоения знаний и умений по теме.

Задачи:

  • установить соответствие между сторонами прямоугольного треугольника, высотой, проведенной к гипотенузе и отрезками гипотенузы;
  • ввести понятие среднего пропорционального;
  • формировать умения применять полученные знания к решению практических задач;

Учебно-методические материалы: учебник «Геометрия 7-9» Л. С. Атанасян, презентация «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Приложение 1 .

Ожидаемые результаты:

Личностные

  • Умение определять границу знания и незнания.
  • Умение математически грамотно излагать мысли.
  • Умение распознавать некорректные высказывания.

Метапредметные

  • Умение планировать свою деятельность по решению учебной задачи.
  • Умение строить цепочку логических рассуждений.
  • Умение давать словесную формулировку факту, записанному в виде формулы.

Предметные

  • Умение находить подобные треугольники и доказывать их подобие.
  • Умение выражать катеты прямоугольного треугольника и высоту, проведенную из вершины прямого угла, через отрезки гипотенузы.
  • Умение читать математическую запись, используя понятие «среднее пропорциональное».

План конспект урока.

1. Организационный момент . Организация внимания; волевая саморегуляция. (Каждому учащемуся раздаются рабочие листы к уроку на два варианта). Приложение 2 , Приложение 3 .

2. Повторение: Повторим основные сведения темы «Подобные треугольники» Слайд 1

  • Дайте определение подобных треугольников
  • Как читается первый признак подобия треугольников
  • Как читается второй признак подобия треугольников
  • Как читается третий признак подобия треугольников
  • Что такое коэффициент подобия?
  • Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.

Тест на установление истинности или ложности высказываний (отвечать “да” или “нет”). Слайд 2

  • Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.
  • Два равносторонних треугольника всегда подобны.
  • Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Стороны одного треугольника имеют длины 3, 4, 6 см, стороны другого треугольника равны 9, 14, 18 см. Подобны ли эти треугольники?
  • Периметры подобных треугольников равны.
  • Если два угла одного треугольника равны 60° и 50°, а два угла другого треугольника равны 50° и 80°, то такие треугольники подобны.
  • Два прямоугольных треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.
  • Два равнобедренных треугольника подобны.
  • Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
  • Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Ключ к тесту: 1. да; 2. да; 3. да; 4. нет; 5. нет; 6. нет; 7. да; 8. нет; 9. да; 10. нет.

Форма проверки теста – взаимопроверка. Ответы и проверка проводятся в рабочих листах к уроку.

3. Теоретическое задание по группам. Класс разбивается на три группы. Каждая группа получает задание. Приложение 4 .

Группа № 1

  1. Доказать подобие «левого» и «правого» прямоугольных треугольников.
  2. Записать пропорциональность катетов.
  3. Выразить из пропорции высоту.

Группа № 2

По заранее заготовленному чертежу прямоугольного треугольника (рисунок 1)

  1. Доказать подобие «левого» и «большого» прямоугольных треугольников.
  2. Выразить из пропорции ВС.

Группа № 3

По заранее заготовленному чертежу прямоугольного треугольника (рисунок 1)

  1. Доказать подобие «правого» и «большого» прямоугольных треугольников.
  2. Записать пропорциональность сходственных сторон.
  3. Выразить из пропорции АС.

На доске по заранее сделанным чертежам и в тетрадях записать доказательство данных утверждений. К доске вызываются по одному человеку из группы.

4. Формулировка темы урока. Во всех трех заданиях мы с вами составили некоторые отношения. Как можно назвать элементы, входящие в эти отношения. Ответ: пропорциональные отрезки. Уточним пропорциональные отрезки в …? Ответ: в прямоугольном треугольнике. Итак, ребята тема нашего урока? Ответ: «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике». Слайд 3

5. Формулировка доказанных утверждений

Прежде чем работать дальше введем некоторые новые понятия и обозначения.
Что называется средним арифметическим двух чисел?
Ответ: Среднее арифметическое чисел m и n называется число а, равное полусумме чисел m и n
Запишите формулу для среднего арифметического чисел m и n.
Сформулируем определение среднего геометрического двух чисел: число a называется средним геометрическим (или средним пропорциональным) для чисел m и n, если выполняется равенство Слайд 4
Решим несколько упражнений на закрепление данных определений. Слайд 5
1. Найдите среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел 3 и 12.
2. Найти длину среднего пропорционального (среднего геометрического) отрезков MN и KP, если MN = 9 см, KP = 27 см
Введем понятия проекции катета на гипотенузу. Слайд 6.
Теперь используя новые понятия, попытаемся сформулировать доказанные при работе в группах выводы.
По этому слайду попробуйте сформулировать утверждение, которое доказали вторая и третья группа. Слайд 7
Запишите данное утверждение, используя новые обозначения (проекции катета на гипотенузу) и затем сформулируйте его, применяя определение проекции катета на гипотенузу. Слайд 8
По этому слайду попробуйте сформулировать утверждение, которое доказали учащиеся третьей группы. Слайд 9
Запишите данное утверждение, используя новые обозначения (проекции катета на гипотенузу) и затем сформулируйте его, применяя определение проекции катета на гипотенузу. Слайд 10

6. Блиц-опрос на закрепление изученных формул. Слайд 11-12

  • В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СD. AD = 16, DB = 9. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 11
  • В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота CD. AD = 18, DB = 2. Найти AC, AB, CB и CD. Слайд 12
  • В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла C проведена высота СН. СА = 6, АН = 2. Найти НВ. Слайд 13

Тест по проверке первичного усвоения материала

В презентации открываем слайд с выведенными формулами (Слайд 14). В рабочих листах напечатан тест: выполните его, записав верные ответы в табличку. Затем взаимопроверка (Слайд 15) по готовым ответам в презентации.

Домашнее задание

Каждому ученику раздается памятка с формулами и текстом задач на дом с подсказками (план поэтапного выполнения каждого задания) Приложение 5 .

9. Рефлексия

Подвести итоги урока. Собрать рабочие листы и выставить оценку за урок каждому ученику.

Литература.

  1. http://gorkunova.ucoz.ru/ Раздаточный материал к практикуму по теме "Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»
  2. Презентация «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике» Савченко Е.М. г. Полярные Зори, Мурманской области.

Цели урока:

Образовательные :

1.Создать условия для самостоятельного вывода соотношений, связывающих пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

  1. Обеспечить закрепление полученных знаний при решении задач.

Развивающие:

1.Обеспечить развитие самостоятельности при выполнении заданий.

Воспитательные :

1.Воспитывать культуру общения в микрогруппе.

  1. Воспитывать умения принимать решения и нести за них ответственность.

Ход урока.

  1. Организационный момент.

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

  1. Мотивация урока.

Дорогие ребята!

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3.Актуализация знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

  1. Что называется отношением двух отрезков
  2. В каком случае говорят, что отрезки АВ и СД пропорциональны отрезкам А 1 В 1 и С 1 Д 1
  3. Дайте определение подобных треугольников
  4. Как читается первый признак подобия треугольников
  5. Как читается второй признак подобия треугольников
  6. Как читается третий признак подобия треугольников
  7. Какие фигуры называются подобными. Что такое коэффициент подобия?
  8. Прямоугольный треугольник. Катеты. Гипотенуза.

Решить № 570(устно), 573(1)(письменно).

  1. Изучение нового материала.

При решении задач чаще всего мы рассматривали остроугольные и тупоугольные треугольники. Элементы прямоугольного треугольника связаны между собой несколько иначе. Рассмотрим чертеж.

Свойства пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике:
 1) катет прямоугольного треугольника, есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу;
2) высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.

Историческая справка. О развитии практической геометрии в древней Руси.

Уже в XVI в. нужды землемерия, строительства и военного дела при­вели к созданию рукописных руко­водств геометрического содержания. Первое дошедшее до нас сочинение этого рода носит название «О земном верстании, как земля верстать». Оно является частью «Книги сошного пись­ма», написанной, как полагают, при Иване IV в 1556 г. Сохранившаяся копия относится к 1629 г.

При разборе Оружейной Палаты в Москве в 1775 г. была обнаружена инструкция «Устав ратных, пушечных и «других дел, касающихся до военной науки», изданная в 1607 и 1621 годах и содержащая некоторые геометрические сведения, которые сво­дятся к определенным приемам решения задач на нахождение расстояний. Вот один пример.

Для измерения расстояния от точки Я до точки Б (см. рис.) рекомендуется вбить в точке Я жезл примерно в рост человека. К верхнему концу жезла Ц прилагается вершина прямого угла угольника так, чтобы один из катетов (или его продолжение) проходил через точку Б. Отмечается точка 3 пересечения дру­гого катета (или его продолжения) с землей. Тогда расстоя­ние БЯ относится к длине жезла ЦЯ так, как длина жезла к расстоянию ЯЗ. Для удобства расчетов и измерений жезл был разделен на 1000 равных частей.

  1. Закрепление нового материала.

Решить устно №601, письменно №610, 600, 604(1), 607(2), 620.

  1. Физминутка для глаз.

Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

  1. Самостоятельная работа.

Работа в парах: решить №604(2) (письменно)

8.Итоги урока. Рефлексия.

  • Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
  • Что удивило?
  • Что понравились больше всего?
  • Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Домашнее задание: выучить п.14, решить № 604(3), 607(3), 573(2).

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com


Подписи к слайдам:

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Геометрия 8 класс

Домашнее задание

1. Задача 3, 5 A B C N M 3 4 Дано: MN || AC . Найти: Р∆АВС

А В С D М N P Q MNPQ – параллелограмм? 2. Задача

Подобие прямоугольных треугольников А В С А 1 В 1 С 1 Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие прямоугольные треугольники подобны

Среднее пропорциональное А В С D Х У Отрезок ХУ называется средним пропорциональным (средним геометрическим) для отрезков АВ и СД, если

Реши задачи: 1. Является ли отрезок длиной 8 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 16 см и 4 см? 2. Является ли отрезок длиной 9 см средним пропорциональным между отрезками с длинами 15 см и 6 см? 3. Является ли отрезок длиной см средним пропорциональным между отрезками с длинами 5 см и 4 см? да нет да

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 9 4 ? Задача 1 .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 9 7 ? Задача 2 .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике А В С Н 21 4 ? Задача 3 .

А В С Н 20 30 ? Задача 4 .

Домашнее задание

Реши задачу 5 2 ? ? ? Реши задачу 9 4 ? ? ? Решить треугольник

А В С Н 20 15 ? Задача. В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону 25

А В С Н 20 15 ? Задача 5 . В треугольнике, стороны которого равны 15, 20 и 25, проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на которые высота делит эту сторону 25