Простым языком: Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы.

Примеры

Абсолютная скорость мухи, ползущей по радиусу вращающейся граммофонной пластинки, равна сумме скорости её движения относительно пластинки и той скорости, с которой её переносит пластинка за счёт своего вращения.
Если человек идёт по коридору вагона со скоростью 5 километров в час относительно вагона, а вагон движется со скоростью 50 километров в час относительно Земли, то человек движется относительно Земли со скоростью 50 + 5 = 55 километров в час, когда идёт по направлению движения поезда, и со скоростью 50 - 5 = 45 километров в час, когда он идёт в обратном направлении. Если человек в коридоре вагона движется относительно Земли со скоростью 55 километров в час, а поезд со скоростью 50 километров в час, то скорость человека относительно поезда 55 - 50 = 5 километров в час.
Если волны движутся относительно берега со скоростью 30 километров в час, а корабль также со скоростью 30 километров в час, то волны движутся относительно корабля со скоростью 30 - 30 = 0 километров в час, то есть они становятся неподвижными.

Релятивистская механика

В XIX веке классическая механика столкнулась с проблемой распространение этого правила сложения скоростей на оптические (электромагнитные) процессы. По существу произошёл конфликт между двумя идеями классической механики, перенесёнными в новую область электромагнитных процессов.

Например, если рассмотреть пример с волнами на поверхности воды из предыдущего раздела и попробовать обобщить на электромагнитные волны, то получится противоречие с наблюдениями (см., например, опыт Майкельсона).

Классическое правило сложения скоростей соответствует преобразованию координат от одной системы осей к другой системе, движущиеся относительно первой без ускорения. Если при таком преобразовании мы сохраняем понятие одновременности, то есть сможем считать одновременными два события не только при их регистрации в одной системе координат, но и во всякой другой инерциальной системе , то преобразования называются галилеевыми . Кроме того, при галилеевых преобразованиях пространственное расстояние между двумя точками - разница между их координатами в одной инерциальной системе осчёта - всегда равно их расстоянию в другой инерциальной системе.

Вторая идея - принцип относительности . Находясь на корабле, движущимся равномерно и прямолинейно , нельзя обнаружить его движение какими-то внутренними механическими эффектами. Распространяется ли этот принцип на оптические эффекты? Нельзя ли обнаружить абсолютное движение системы по вызванным этим движением оптическим или, что то же самое электродинамическими эффектами? Интуиция (довольно явным образом связанная с классическим принципом относительности) говорит, что абсолютное движение нельзя обнаружить какими бы то ни было наблюдениями. Но если свет распространяется с определённой скоростью относительно каждой из движущихся инерциальных систем, то эта скорость изменится при переходе от одной системы к другой. Это вытекает из классического правила сложения скоростей. Говоря математическим языком, величина скорости света не будет инвариантна относительно галлилеевых преобразованиям. Это нарушает принцип относительности, вернее, не позволяет распространить принцип относительности на оптические процессы. Таким образом электродинамика разрушила связь двух, казалось бы, очевидных положений классической физики - правила сложения скоростей и принципа относительности. Более того, эти два положения применительно к электродинамике оказались несовместимыми.

Теория относительности даёт ответ на этот вопрос. Она расширяет понятие принципа относительности, распространяя его и на оптические процессы. Правило сложение скоростей при этом не отменяется совсем, а лишь уточняется для больших скоростей с помощью преобразования Лоренца:

Можно заметить, что в случае, когда , преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея . То же самое происходит в случае, когда . Это говорит о том, что специальная теория относительности совпадает с механикой Ньютона либо в мире с бесконечной скоростью света, либо при скоростях, малых по сравнению со скоростью света. Последнее объясняет, каким образом сочетаются эти две теории - первая является уточнением второй.

См. также

Литература

Б. Г. Кузнецов Эйнштейн. Жизнь, смерть, бессмертие. - М .: Наука , 1972.
Четаев Н. Г. Теоретическая механика. - М .: Наука , 1987.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Правило сложения скоростей" в других словарях:

При рассмотрении сложного движения (то есть когда точка или тело движется в одной системе отсчёта, а она движется относительно другой) возникает вопрос о связи скоростей в 2 системах отсчёта. Содержание 1 Классическая механика 1.1 Примеры … Википедия

Геометрическое построение, выражающее закон сложения скоростей. Правило П. с. состоит в том, что при сложном движении (см. Относительное движение) абсолютная скорость точки представляется как диагональ параллелограмма, построенного на… …

Почтовая марка с формулой E = mc2, посвящённая Альберту Эйнштейну, одному из создателей СТО. Специальная теор … Википедия

Физическая теория, рассматривающая пространственно временные закономерности, справедливые для любых физ. процессов. Универсальность пространственно временных св в, рассматриваемых О. т., позволяет говорить о них просто как о.св вах пространства… … Физическая энциклопедия

- [от греч. mechanike (téchne) наука о машинах, искусство построения машин], наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Под механическим движением понимают изменение с течением… … Большая советская энциклопедия Математическая энциклопедия

А; м. 1. Нормативный акт, постановление высшего органа государственной власти, принятый в установленном порядке и имеющий юридическую силу. Кодекс законов о труде. З. о социальном обеспечении. З. о воинской обязанности. З. о рынке ценных бумаг.… … Энциклопедический словарь

Закон сложения скоростей в релятивистской механике

Пусть относительно системы К′ материальная точка движется со скоростью u′ (Рис. 2.3.2). Найдем скоростьu материальной точки относительно системы К . Проекции скоростей u и u ′ на оси координат в системах К и К′ соответственно можно представить следующим образом:

, , , , , . (2.3.10)

Согласно преобразованиям Лоренца (4 – 7),

, , , . (2.3.11)

Подставив выражения (2.3.11) в (2.3.10), поcле преобразований получим релятивистский закон сложения скоростей:

, (2.3.12)

, (2.3.13)

. (2.3.14)

Если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света, то выражения (2.3.12) – (2.3.14) переходят в закон сложения скоростей в классической механике:

, , . (2.3.15)

Пусть материальная точка движется параллельно оси х .

Тогда и релятивистский закон сложения скоростей (2.3.12) принимает вид:

. (2.3.16)

Если в системе К′ , то в системе К ,

т.е. при сложении двух скоростей результирующая скорость оказалась равной скорости света в вакууме, что является подтверждением второго постулата Эйнштейна.

Интервал

Пусть в системе отсчета К происходят два события: первое – в точке с координатами x 1 , y 1 , z 1 в момент времени t 1,

второе – в точке с координатами x 2 , y 2 , z 2 в момент времени t 2 . Каждому событию в четырехмерном пространстве-времени соответствует точка (x ,y ,z ,t ), которую называют мировой точкой. Величину

называют интервалом между этими событиями или интервалом между двумя точками (x 1 ,y 1 ,z 1 ,t 1 ) и (x 2 ,y 2 ,z 2 ,t 2 ) в четырехмерном пространстве-времени. Можно показать, используя преобразования Лоренца, что эта величина имеет одно и то же значение во всех системах отсчета, т.е. является инвариантом преобразований Лоренца.

Обозначим промежуток времени между событиями t 2 – t 1 = =t 12 , а пространственное расстояние между точками, в кото-рых происходят события .

Тогда интервал примет вид .

Пусть первое событие состоит в том, что в момент времени t 1 из точки (x 1 ,y 1 ,z 1 ) испускается световой сигнал, а второе – в том, что в момент времени t 2 этот сигнал принимается в точке (x 2 ,y 2 ,z 2 ). Сигнал распространяется со скоростью света, поэтому l 12 = ct 12 . Интервал для этого случая s 12 = 0. Такой интервал называется нулевым. Нулевой интервал существует между событиями, которые могут быть связаны сигналом, распространяющимся со скоростью света. При нулевом интервале события могут быть связаны между собой причинно-следственной связью в любой системе отсчета.

Если l 12 > ct 12 , то рассматриваемые события не могут оказывать влияния друг на друга, т.е. между ними не может существовать причинно-следственной связи, так как никакой сигнал, никакое воздействие не могут распространяться со скоростью большей, чем скорость света в вакууме. Интервал в этом случае будет мнимым. Мнимые интервалы называются пространственноподобными . События, разделенные мнимым интервалом, ни в какой системе отсчета не могут происходить в одной точке, так как в этом случае в этой системе отсчета интервал стал бы вещественным (l 12 = 0). А в силу инвариантности интервал во всех системах отсчета должен оставаться мнимым. Для событий, разделенных пространственноподобным интервалом, можно найти систему отсчета, в которой они происходят в одно время (t 12 =0).

Если l 12 < ct 12 , то интервал оказывается вещественным. Такие интервалы называются времениподобными . События, разделенные времениподобным интервалом, могут быть причинно связанными друг с другом. Такие события ни в одной системе отсчета не могут происходить в одно и то же время (t 12 = 0), так как в этом случае интервал стал бы мнимым. Но для этих событий существует система отсчета, в которой они происходят в одной точке (l 12 = 0).

12.2. Постулаты СТО

12.2.1. Релятивистский закон сложения скоростей

Релятивистская теория называется также специальной теорией относительности и базируется на двух постулатах, сформулированных А. Эйнштейном в 1905 г.

Первый постулат специальной теории относительности (СТО) называется принципом относительности : все законы физики инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. никакие опыты (механические, электрические, оптические), проведенные внутри данной ИСО, не дают возможности обнаружить, находится ли эта ИСО в состоянии покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Первый постулат распространяет механический принцип относительности Галилея на любые физические процессы.

Второй постулат специальной теории относительности (СТО) называется принципом инвариантности скорости света : скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех ИСО.

Второй постулат утверждает, что постоянство скорости света - фундаментальное свойство природы.

Преобразования Лоренца (1904) позволяют получить значения трех пространственных и одной временной координаты при переходе от одной инерциальной системы отсчета (x , y , z , t ) к другой (x ′, y ′, z ′, t ′), движущейся в положительном направлении координатной оси Ox с релятивистской скоростью u → :

x = x ′ + u t ′ 1 − β 2 , y = y ′, z = z ′, t = t ′ + u x ′ / c 2 1 − β 2 ,

где β = u /c ; c - скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

Практическую ценность для решения задач имеет закон сложения скоростей , записанный в виде

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ,

где величины v ′ x , u x , v x - проекции скоростей на выбранную координатную ось Ox :

v ′ x - относительной скорости релятивистских частиц;
u x - скорости частицы, выбранной за систему отсчета , относительно неподвижного наблюдателя;
v x - скорости другой частицы относительно того же неподвижного наблюдателя.

Для расчета относительной скорости движения двух релятивистских частиц целесообразно применять следующий алгоритм :

1) выбрать направление координатной оси Ox вдоль движения одной из релятивистских частиц;

2) связать систему отсчета с одной из частиц, обозначить ее скорость u → ; скорость второй частицы относительно неподвижного наблюдателя обозначить v → ;

3) записать проекции скоростей u → и v → на выбранную координатную ось:

при движении частицы в положительном направлении оси Ox знак проекции скорости считать положительным ;
при движении частицы в отрицательном направлении оси Ox знак проекции скорости считать отрицательным ;

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 ;

5) модуль относительной скорости движения релятивистских частиц записать в виде

v отн = | v ′ x | .

Пример 1. Ракета, удаляющаяся от Земли со скоростью 0,6c (c - скорость света), посылает световой сигнал в сторону, противоположную скорости своего движения. Сигнал регистрируется наблюдателем на Земле. Найти скорость этого сигнала относительно земного наблюдателя.

Решение . Согласно второму постулату СТО скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя.

Поэтому скорость сигнала, посланного ракетой, относительно земного наблюдателя равна скорости света:

v отн = c ,

где c - скорость света в вакууме, c = 3,0 ⋅ 10 8 м/с.

Пример 2. В момент вылета из ускорителя радиоактивное ядро выбросило электрон в направлении его движения. Модули скоростей ядра и электрона относительно ускорителя составляют 0,40c и 0,70c соответственно (c - скорость света в вакууме, c ≈ 3,00 ⋅ 10 8 м/с). Определить модуль скорости ядра относительно электрона. Как изменится модуль скорости ядра относительно электрона, если ядро выбросит электрон в противоположную сторону?

Решение . В первом случае ядро выбрасывает электрон в направлении своего движения. На рис. а показано ядро, выбросившее электрон вдоль направления своего движения, и указаны направления координатной оси Ox , скорости ядра v → яд, скорости электрона v → эл.

Для расчета относительной скорости движения двух релятивистских частиц воспользуемся алгоритмом.

1. Выберем направление координатной оси Ox в направлении скорости электрона и ядра.

u → = v → эл;

v → = v → яд.

u x = 0,40c ; v x = 0,70c .

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = 0,70 c − 0,40 c 1 − 0,40 c ⋅ 0,70 c c 2 = 0,30 c 1 − 0,40 c ⋅ 0,70 c c 2 = 1,25 ⋅ 10 8 м/с.

5. Проекция относительной скорости имеет положительный знак, поэтому модуль скорости ядра относительно электрона равен найденной проекции:

v отн = v ′ x = 1,25 ⋅ 10 8 м/с.

Во втором случае ядро выбрасывает электрон в сторону, противоположную скорости своего движения. На рис. б показано ядро, выбросившее электрон противоположно направлению своего движения, и указаны направления координатной оси Ox , скорости ядра v → яд, скорости электрона v → эл.

Для расчета также воспользуемся алгоритмом.

1. Выберем направление координатной оси Ox в направлении скорости электрона.

2. Свяжем систему отсчета с электроном, его скорость относительно ускорителя обозначим

u → = v → эл;

скорость ядра относительно ускорителя -

v → = v → яд.

3. Запишем проекции скоростей u → и v → на выбранную координатную ось:

u x = 0,40с ; v x = −0,70c .

4. Рассчитаем проекцию относительной скорости частиц по формуле

v ′ x = v x − u x 1 − u x v x c 2 = − 0,70 c − 0,40 c 1 − 0,40 c ⋅ (− 0,70) c c 2 =

= − 1,1 ⋅ 3,00 ⋅ 10 8 1 − 0,40 c ⋅ (− 0,70) c c 2 = − 2,58 ⋅ 10 8 м/с.

5. Проекция относительной скорости имеет отрицательный знак, поэтому модуль скорости ядра относительно электрона равен модулю найденной проекции:

v отн = | v ′ x | = 2,58 ⋅ 10 8 м/с.

Модуль относительной скорости частиц увеличивается в 2,58 раза.

Пример. Вернёмся к примеру (1.13 ):

x = 1 + 12t 3t2

(координата измеряется в метрах, время в секундах). Последовательно дифференцируя два раза, получаем:

vx = x = 12 6t;

ax = vx = 6:

Как видим, ускорение постоянно по модулю и равно 6 м/с2 . Направлено ускорение в сторону, противоположную оси X.

Приведённый пример есть случай равноускоренного движения, при котором модуль и направление ускорения неизменны. Равноускоренное движение один из важнейших и часто встречающихся видов движения в механике.

Из данного примера нетрудно понять, что при равноускоренном движении проекция скорости является линейной функцией времени, а координата квадратичной функцией. Мы поговорим об этом более подробно в соответствующем разделе, посвящённом равноускоренному движению.

Пример. Рассмотрим более экзотический случай:

x = 2 + 3t 4t2 + 5t3 :

Дифференцируем:

vx = x = 3 8t + 15t2 ;

ax = vx = 8 + 30t:

Данное движение не является равноускоренным: ускорение зависит от времени.

Пример. Пусть тело движется вдоль оси X по следующему закону:

Мы видим, что координата тела периодически изменяется, находясь в пределах от 5 до 5. Данное движение является примером гармонических колебаний, когда координата меняется со временем по закону синуса.

Дифференцируем дважды:

vx = x = 5 cos 2t 2 = 10 cos 2t;

ax = vx = 20 sin 2t:

Проекция скорости меняется по закону косинуса, а проекция ускорения снова по закону синуса. Величина ax пропорциональна координате x и противоположна ей по знаку (а именно, ax = 4x); вообще, соотношение вида ax = !2 x характерно для гармонических колебаний.

1.2.8 Закон сложения скоростей

Пусть имеются две системы отсчёта. Одна из них связана с неподвижным телом отсчёта O. Эту систему отсчёта обозначим K и будем называть неподвижной.

Вторая система отсчёта, обозначаемая K0 , связана с телом отсчёта O0 , которое движется относительно тела O со скоростью ~u. Эту систему отсчёта называем движущейся. Дополнительно

предполагаем, что координатные оси системы K0 перемещаются параллельно самим себе (нет вращения системы координат), так что вектор ~u можно считать скоростью движущейся системы относительно неподвижной.

Неподвижная система отсчёта K обычно связана с землёй. Если поезд плавно едет по рельсам со скоростью ~u, то система отсчёта, связанная с вагоном поезда, будет движущейся системой отсчёта K0 .

Заметим, что скорость любой точки вагона3 равна ~u. Если муха неподвижно сидит в некоторой точке вагона, то относительно земли муха движется со скоростью ~u. Муха переносится вагоном, и потому скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной называется переносной скоростью.

Предположим теперь, что муха поползла по вагону. Тогда появляются ещё две скорости, которые нужно рассмотреть.

Скорость мухи относительно вагона (то есть в движущейся системе K0 ) обозначается ~v0 и

называется относительной скоростью.

Скорость мухи относительно земли (то есть в неподвижной системе K) обозначается ~v и

называется абсолютной скоростью.

Выясним, как связаны друг с другом эти три скорости абсолютная, относительная и переносная.

На рис. 1.11 муха обозначена точкой M. Далее:

~r радиус-вектор точки M в неподвижной системе K; ~r0 радиус-вектор точки M в движущейся системе K0 ;

~ радиус-вектор тела отсчёта0 в неподвижной системе.


~r 0

Рис. 1.11. К выводу закона сложения скоростей

Как видно из рисунка,

~ 0 ~r = R + ~r:

Дифференцируя это равенство, получим:

					d~r 0

Производная d~r=dt есть скорость точки M в системе K, то есть абсолютная скорость:

d~r dt = ~v:

Аналогично, производная d~r 0 =dt есть скорость точки M в системе K0 , то есть относительная

скорость:

d~r dt 0 = ~v0 :

3 Кроме вращающихся колёс, но их мы не берём во внимание.

А что такое ~ ? Это скорость точки0 в неподвижной системе, то есть переносная dR=dt O

скорость ~u движущейся системы относительно неподвижной:

dR dt = ~u:

В результате из (1.28 ) получаем:

~v = ~u + ~v 0 :

Закон сложения скоростей. Скорость точки относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости движущейся системы и скорости точки относительно движущейся системы. Иными словами, абсолютная скорость есть сумма переносной и относительной скоростей.

Таким образом, если муха ползёт по движущемуся вагону, то скорость мухи относительно земли равна векторной сумме скорости вагона и скорости мухи относительно вагона. Интуитивно очевидный результат!

1.2.9 Виды механического движения

Простейшими видами механического движения материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения.

Движение называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление скорости при этом может меняться).

Движение называется прямолинейным, если оно происходит вдоль некоторой прямой (величина скорости при этом может меняться). Иными словами, траекторией прямолинейного движения служит прямая линия.

Например, автомобиль, который едет с постоянной скоростью по извилистой дороге, совершает равномерное (но не прямолинейное) движение. Автомобиль, разгоняющийся на прямом участке шоссе, совершает прямолинейное (но не равномерное) движение.

А вот если при движении тела остаются постоянными как модуль скорости, так и её направление, то движение называется равномерным прямолинейным. Итак:

равномерное движение, j~vj = const;

равномерное прямолинейное движение, ~v = const.

Важнейшим частным случаем неравномерного движения является равноускоренное движение, при котором остаются постоянными модуль и направление вектора ускорения:

равноускоренное движение, ~a = const.

Наряду с материальной точкой в механике рассматривается ещё одна идеализация твёрдое тело.

Твёрдое тело это система материальных точек, расстояния между которыми не меняются со временем. Модель твёрдого тела применяется в тех случаях, когда мы не можем пренебречь размерами тела, но можем не принимать во внимание изменение размеров и формы тела в процессе движения.

Простейшими видами механического движения твёрдого тела являются поступательное и вращательное движения.

Движение тела называется поступательным, если всякая прямая, соединяющая две какиелибо точки тела, перемещается параллельно своему первоначальному направлению. При поступательном движении траектории всех точек тела идентичны: они получаются друг из друга параллельным сдвигом.

Так, на рис. 1.12 показано поступательное движение серого квадрата. Произвольно взятый зелёный отрезок этого квадрата перемещается параллельно самому себе. Траектории концов отрезка изображены синими пунктирными линиями.

Рис. 1.12. Поступательное движение

Движение тела называется вращательным, если все его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях. При этом центры данных окружностей лежат на одной прямой, которая перпендикулярна всем этим плоскостям и называется осью вращения.

На рис. 1.13 изображён шар, вращающийся вокруг вертикальной оси. Так обычно рисуют земной шар в соответствующих задачах динамики.

Рис. 1.13. Вращательное движение