Как вычислить площадь поверхности цилиндра - тема данной статьи. В любой математической задаче начать нужно с ввода данных, определить, что известно и чем оперировать в дальнейшем, и лишь затем приступить непосредственно к расчету.

Данное объёмное тело представляет собой геометрическую фигуру цилиндрической формы, ограниченную сверху и снизу двумя параллельными плоскостями. Если приложить немного воображения, то можно заметить, что геометрическое тело образуется вращением прямоугольника вокруг оси, причем осью является одна из его сторон.

Отсюда вытекает, что описываемая кривая сверху и снизу цилиндра будет окружностью, основным показателем которой является радиус или диаметр.

Площадь поверхности цилиндра — онлайн калькулятор

Данная функция окончательно облегчает процесс расчета, и все сводится лишь автоматическому подставлению заданных значений высоты и радиуса (диаметра) основания фигуры. Единственное, что требуется - точно определить данные и не ошибиться при вводе цифр.

Площадь боковой поверхности цилиндра

Сначала нужно представить, как выглядит развертка в двухмерном пространстве.

Это не что иное, как прямоугольник, одна сторона которого равна длине окружности. Формула ее известна с незапамятных времен -2π * r , где r - радиус окружности. Другая сторона прямоугольника равна высоте h . Найти искомое не составит труда.

S бок = 2π * r * h ,

где число π = 3.14.

Площадь полной поверхности цилиндра

Для нахождения полной площади цилиндра нужно к полученной S бок добавить площади двух окружностей, верха и низа цилиндра, которые считаются по формуле S о = 2π * r 2 .

Конечная формула выглядит следующим образом:

S пол = 2π * r 2 + 2π * r * h.

Площадь цилиндра — формула через диаметр

Для облегчения расчетов иногда требуется произвести вычисления через диаметр. Например, имеется кусок полой трубы известного диаметра.

Не утруждая себя лишними расчетами, имеем готовую формулу. На помощь приходит алгебра за 5 класс.

S пол = 2 π * r 2 + 2 π * r * h = 2 π * d 2 /4 + 2 π * h * d /2 = π * d 2 /2 + π * d * h ,

Вместо r в полную формулу нужно вставить значение r = d/2 .

Примеры расчета площади цилиндра

Вооружившись знаниями, приступаем к практике.

Пример 1. Нужно вычислить площадь усеченного куска трубы, то есть цилиндра.

Имеем r = 24 mm, h = 100 mm. Использовать необходимо формулу через радиус:

S пол = 2 * 3.14 * 24 2 + 2 * 3.14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (мм 2).

Переводим в привычные м 2 и получаем 0,01868928, приблизительно 0.02 м 2 .

Пример 2. Требуется узнать площадь внутренней поверхности печной асбестовой трубы, стенки которой облицованы огнеупорным кирпичом.

Данные следующие: диаметр 0,2 м; высота 2 м. Используем формулу через диаметр:

S пол = 3.14 * 0.2 2 /2 + 3,14 * 0.2 * 2 = 0,0628 + 1.256 = 1.3188 м 2 .

Пример 3. Как узнать, сколько материла нужно для пошива мешка, r = 1 м и высотой 1 м.

Один момент, есть формула:

S бок = 2 * 3.14 * 1 * 1 = 6.28 м 2 .

Заключение

В конце статьи назрел вопрос: а так ли необходимы все эти вычисления и переводы одних значений в другие. Зачем все это нужно и самое главное, для кого? Но не стоит пренебрегать и забывать простые формулы из средней школы.

Мир стоял и будет стоять на элементарных познаниях, из математики, в том числе. И, приступая к какой-нибудь важной работе, никогда не лишне освежить в памяти данные выкладки, применив их на практике с большим эффектом. Точность – вежливость королей.

Цилиндр – это фигура, состоящая из цилиндрической поверхности и двух окружностей, расположенных параллельно. Расчет площади цилиндра – это задача геометрического раздела математики, которая решается достаточно просто. Существует несколько методов ее решения, которые в результате всегда сводятся к одной формуле.

Как найти площадь цилиндра – правила вычисления

  • Чтобы узнать площадь цилиндра, необходимо две площади основания сложить с площадью боковой поверхности: S= Sбок.+ 2Sосн. В более развернутом варианте данная формула выглядит так: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
  • Площадь боковой поверхности данного геометрического тела можно высчитать, если известны его высота и радиус окружности, лежащей в основании. В данном случае можно выразить радиус из длины окружности, если она дана. Высота может быть найдена, если в условии задано значение образующей. В этом случае образующая будет равна высоте. Формула боковой поверхности данного тела выглядит так: S= 2 π rh.
  • Площадь основания считается по формуле нахождения площади круга: S osn= π r 2 . В некоторых задачах может не даваться радиус, но задаваться длина окружности. С данной формулы радиус выражается достаточно легко. С=2π r, r= С/2π. Нужно также помнить о том, что радиус – это половина диаметра.
  • При выполнении всех этих расчетов число π обычно не переводится в 3,14159… Его нужно просто дописывать рядом с числовым значением, которое было получено в результате проведения вычислений.
  • Далее необходимо лишь умножить найденную площадь основания на 2 и прибавить к полученному числу вычисленную площадь боковой поверхности фигуры.
  • Если в задаче указывается, что в цилиндре есть осевое сечение и это – прямоугольник, то решение будет немного другим. В таком случае ширина прямоугольника будет являться диаметром окружности, лежащей в основании тела. Длина фигуры будет равна образующей или высоте цилиндра. Необходимо высчитать нужные значения и подставить в уже известную формулу. В данном случае ширину прямоугольника нужно разделить на два, чтобы найти площадь основания. Для нахождения боковой поверхности длина умножается на два радиуса и на число π.
  • Можно высчитать площадь данного геометрического тела через его объем. Для этого нужно из формулы V=π r 2 h вывести недостающую величину.
  • В вычислении площади цилиндра нет ничего сложного. Нужно только знать формулы и уметь выводить из них величины, необходимые для проведения расчетов.

Цилиндр - это симметричная пространственная фигура, свойства которой рассматривают в старших классах школы в курсе стереометрии. Для его описания используют такие линейные характеристики, как высота и радиус основания. В данной статье рассмотрим вопросы касательно того, что такое осевое сечение цилиндра, и как рассчитать его параметры через основные линейные характеристики фигуры.

Геометрическая фигура

Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.

На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.

Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.

Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.

Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.

Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.

Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.

Осевое сечение прямого цилиндра

Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.

В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.

Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.

Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины h d его диагонали:

Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.

Осевое сечение наклонного цилиндра

Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны - это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же - длина образующего отрезка. Обозначим ее b.

Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:

Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Здесь l 1 и l 2 - длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.

Задача с прямым цилиндром

Покажем, как использовать полученные знания для решения следующей задачи. Пусть дан круглый прямой цилиндр. Известно, что осевое сечение цилиндра - квадрат. Чему равна площадь этого сечения, если всей фигуры составляет 100 см 2 ?

Для вычисления искомой площади необходимо найти либо радиус, либо диаметр основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для общей площади S f фигуры:

Поскольку сечение осевое представляет собой квадрат, то это означает, что радиус r основания в два раза меньше высоты h. Учитывая это, можно переписать равенство выше в виде:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Теперь можно выразить радиус r, имеем:

Поскольку сторона квадратного сечения равна диаметру основания фигуры, то для вычисления его площади S будет справедлива следующая формула:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Мы видим, что искомая площадь однозначно определяется площадью поверхности цилиндра. Подставляя данные в равенство, приходим к ответу: S = 21,23 см 2 .

Площадь каждого основания цилиндра равна πr 2 , площадь обоих оснований составит 2πr 2 (рис.).

Площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, основание которого равно 2πr , а высота равна высоте цилиндра h , т. е. 2πrh .

Полная поверхность цилиндра составит: 2πr 2 + 2πrh = 2πr (r + h ).


За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь развертки его боковой поверхности.

Поэтому площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна площади соответствующего прямоугольника (рис.) и вычисляется по формуле

S б.ц. = 2πRH, (1)

Если к площади боковой поверхности цилиндра прибавить площади двух его оснований, то получим площадь полной поверхности цилиндра

S полн. =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Объем прямого цилиндра

Теорема. Объем прямого цилиндра равен произведению площади его основания на высоту , т. е.

где Q - площадь основания, а Н - высота цилиндра.

Так как площадь основания цилиндра равна Q, то существуют последовательности описанных и вписанных многоугольников с площадями Q n и Q’ n таких, что

\(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q n = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n = Q.

Построим последовательности призм, основаниями которых являются рассмотренные выше описанные и вписанные многоугольники, а боковые ребра параллельны образующей данного цилиндра и имеют длину H. Эти призмы являются описанными и вписанными для данного цилиндра. Их объемы находятся по формулам

V n = Q n H и V’ n = Q’ n H.

Следовательно,

V= \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q n H = \(\lim_{n \rightarrow \infty}\) Q’ n H = QH.

Следствие.
Объем прямого кругового цилиндра вычисляется по формуле

V = π R 2 H

где R - радиус основания, а H - высота цилиндра.

Так как основание кругового цилиндра есть круг радиуса R, то Q = π R 2 , и поэтому

Существует большое количество задач, связанных с цилиндром. В них нужно находить радиус и высоту тела или вид его сечения. Плюс ко всему, иногда требуется вычислить площадь цилиндра и его объем.

Какое тело является цилиндром?

В курсе школьной программы изучается круговой, то есть являющийся таковым в основании, цилиндр. Но выделяют еще и эллиптический вид данной фигуры. Из названия ясно, что его основанием будет эллипс или овал.

Оснований у цилиндра два. Они равны друг другу и соединены отрезками, которые совмещают соответствующие точки оснований. Они называются образующими цилиндра. Все образующие параллельны друг другу и равны. Именно они составляют боковую поверхность тела.

В общем случае цилиндр — это наклонное тело. Если образующие составляют прямой угол с основаниями, то говорят уже о прямой фигуре.

Интересно, что круговой цилиндр является телом вращения. Он получается от поворота прямоугольника вокруг одной из его сторон.

Основные элементы цилиндра

Основные элементы цилиндра выглядят следующим образом.

  1. Высота. Она является кратчайшим расстоянием между основаниями цилиндра. Если он прямой, то высота совпадает с образующей.
  2. Радиус. Совпадает с тем, который можно провести в основании.
  3. Ось. Это прямая линия, которая содержит центры обоих оснований. Ось всегда параллельна всем образующим. В прямом цилиндре она перпендикулярна основаниям.
  4. Осевое сечение. Оно образуется при пересечении цилиндра плоскостью, содержащей ось.
  5. Касательная плоскость. Она проходит через одну из образующих и перпендикулярна осевому сечению, которое проведено через эту образующую.

Как связан цилиндр с вписанной в него или описанной около него призмой?

Иногда встречаются задачи, в которых нужно вычислить площадь цилиндра, а известны при этом некоторые элементы связанной с ним призмы. Как соотносятся эти фигуры?

Если призма вписана в цилиндр, то ее основания - равные многоугольники. Причем они вписаны в соответствующие основания цилиндра. Боковые ребра призмы совпадают с образующими.

У описанной призмы в основаниях находятся правильные многоугольники. Они описаны около кругов цилиндра, являющихся его основаниями. Плоскости, которые содержат грани призмы, касаются цилиндра по образующим.

О площади боковой поверхности и основания для прямого кругового цилиндра

Если сделать развертку боковой поверхности, то получится прямоугольник. Его стороны будут совпадать с образующей и длиной окружности основания. Поэтому боковая площадь цилиндра будет равна произведению этих двух величин. Если записать формулу, то получится следующее:

S бок = l * н,

где н — образующая, l — длина окружности.

Причем последний параметр вычисляется по формуле:

l = 2 π * r,

здесь r — радиус окружности, π - число "пи", равное 3,14.

Поскольку основание - круг, то его площадь вычисляется с помощью такого выражения:

S осн = π * r 2 .

О площади всей поверхности прямого кругового цилиндра

Так как она образована двумя основаниями и боковой поверхностью, то нужно сложить эти три величины. То есть полная площадь цилиндра будет вычисляться по формуле:

S пол = 2 π * r * н + 2 π * r 2 .

Часто ее записывают в другом виде:

S пол = 2 π * r (н + r).

О площадях наклонного кругового цилиндра

Что касается оснований, то там все формулы те же, ведь они по-прежнему круги. А вот боковая поверхность уже не дает прямоугольника.

Для расчета площади боковой поверхности наклонного цилиндра потребуется перемножить значения образующей и периметра сечения, которое будет перпендикулярно выбранной образующей.

Формула выглядит так:

S бок = х * Р,

где х — длина образующей цилиндра, Р — периметр сечения.

Сечение, кстати, лучше выбирать такое, чтобы оно образовывало эллипс. Тогда будут упрощены расчеты его периметра. Длина эллипса вычисляется по формуле, которая дает приблизительный ответ. Но его часто бывает достаточно для задач школьного курса:

l = π * (а + в),

где «а» и «в» — полуоси эллипса, то есть расстояния от центра до ближайшей и самой дальней его точек.

Площадь всей поверхности нужно вычислять с помощью такого выражения:

S пол = 2 π * r 2 + х * Р.

Чему равны некоторые сечения прямого кругового цилиндра?

Когда сечение проходит через ось, то его площадь определяется как произведение образующей и диаметра основания. Это объясняется тем, что оно имеет вид прямоугольника, стороны которого совпадают с обозначенными элементами.

Чтобы найти площадь сечения цилиндра, являющегося параллельным осевому, потребуется тоже формула для прямоугольника. В этой ситуации одна его сторона будет по-прежнему совпадать с высотой, а другая равна хорде основания. Последняя же совпадает с линией сечения по основанию.

Когда сечение перпендикулярно оси, то оно имеет вид круга. Причем его площадь такая же, как у основания фигуры.

Возможно еще пересечение под некоторым углом к оси. Тогда в сечении получается овал или его часть.

Примеры задач

Задание №1. Дан прямой цилиндр, площадь основания которого 12,56 см 2 . Необходимо вычислить полную площадь цилиндра, если его высота равна 3 см.

Решение. Необходимо воспользоваться формулой для полной площади кругового прямого цилиндра. Но в ней не хватает данных, а именно радиуса основания. Зато известна площадь круга. Из нее легко вычислить радиус.

Он оказывается равным квадратному корню из частного, которое получается от деления площади основания на пи. После деления 12,56 на 3,14 выходит 4. Квадратный корень из 4 — это 2. Поэтому радиус будет иметь именно такое значение.

Ответ: S пол = 50,24 см 2 .

Задание №2. Цилиндр с радиусом 5 см пресечен плоскостью, параллельной оси. Расстояние от сечения до оси равно 3 см. Высота цилиндра — 4 см. Требуется найти площадь сечения.

Решение. Форма сечения — прямоугольная. Одна его сторона совпадает с высотой цилиндра, а другая равна хорде. Если первая величина известна, то вторую нужно найти.

Для этого следует сделать дополнительное построение. В основании проводим два отрезка. Оба они будут начинаться в центре окружности. Первая будет заканчиваться в центре хорды и равняться известному расстоянию до оси. Вторая — на конце хорды.

Получится прямоугольный треугольник. В нем известны гипотенуза и один из катетов. Гипотенуза совпадает с радиусом. Второй катет равен половине хорды. Неизвестный катет, умноженный на 2, даст искомую длину хорды. Вычислим его значение.

Для того чтобы найти неизвестный катет, потребуется возвести в квадрат гипотенузу и известный катет, вычесть из первого второе и извлечь квадратный корень. Квадраты равны 25 и 9. Их разность - 16. После извлечения квадратного корня остается 4. Это искомый катет.

Хорда будет равна 4 * 2 = 8 (см). Теперь можно вычислить площадь сечения: 8 * 4 = 32 (см 2).

Ответ: S сеч равна 32 см 2 .

Задание №3. Необходимо вычислить площадь осевого сечения цилиндра. Известно, что в него вписан куб с ребром 10 см.

Решение. Осевое сечение цилиндра совпадает с прямоугольником, который проходит через четыре вершины куба и содержит диагонали его оснований. Сторона куба является образующей цилиндра, а диагональ основания совпадает с диаметром. Произведение этих двух величин даст площадь, которую нужно узнать в задаче.

Для поиска диаметра потребуется воспользоваться знанием того, что в основании куба - квадрат, а его диагональ образует равносторонний прямоугольный треугольник. Гипотенуза его является искомой диагональю фигуры.

Для ее расчета потребуется формула теоремы Пифагора. Нужно возвести в квадрат сторону куба, умножить ее на 2 и извлечь квадратный корень. Десять во второй степени — это сто. Умноженное на 2 — двести. Квадратный корень из 200 равен 10√2.

Сечение - это снова прямоугольник со сторонами 10 и 10√2. Его площадь легко сосчитать, перемножив эти значения.

Ответ. S сеч = 100√2 см 2 .